Büyük sayılar yasası, bir rassal değişkenin uzun vadede beklenen değere ulaşacağını söyler. Bunu iki farklı örnekle anlatıp, kumarbazın neden yanıldığını ifade etmeye çalışacağım.


Birinci örnek bir zar örneği olsun; bir zarın 6 adet yüzü vardır ve her bir yüzdeki sayının toplamının ortalaması 3.5’tur. Bu durumda teorem bize zarı yeteri kadar attığımız durumda ortalamanın 3.5’a yaklaşacağını söyler (beklenen değer: 3.5). Yani zarı 1 kere, 2 kere, 3 kere attığınızda ortalaması 3.5 olmayabilir fakat yeteri kadar çok fazla atarsanız, ortalaması 3.5’a yaklaşır. Bunla ilgili bir grafiği sizle paylaşıyorum. Grafikteki x ekseni zarın kaç kere atıldığını gösteriyor, y ekseni ise atılan zarların ortalamasını gösteriyor. Gördüğünüz üzere atılan zar sayısı arttıkça ortalama 3.5’a yaklaşıyor.




Diğer bir örnek ise kumarhane örneği olsun. Oyunun kuralı şudur; oynayan kişi ortaya 10 TL koyar ve bir bozuk para havaya atılır, tura gelirse kumarhane 10 TL’yi alır, yazı gelirse oynayan kişi kendi 10 TL’sini geri alır ve kumarhane üzerine 8 TL daha verir (beklenen değer: kumarhane için her oyunda +2TL kazanç elde etmek). Büyük sayılar kanunu uzun vadede kumarhanenin kazançlı çıkacağını söyler. Aşağıdaki grafik kumarhanenin 1000TL ile başladığı bir senaryoyu gösteriyor. Gördüğünüz gibi kumarhane en başta kaybetmiş olsa da eninde sonunda o kazançlı çıkıyor.






Madem enin sonunda beklenen değere ulaşacağımızı düşünüyoruz, bu durumda rulet oynarken onlarca kere siyah gelirse bu durumda artık ardarda kırmızı geleceğini düşünebilir miyiz? Cevap: Hayır. Büyük sayılar kanunu böyle bir şey söylemiyor. Bu tür bir yanılgıya kumarbazın yanılgısı (gambler’s fallacy) deniyor. Bu olaya örnek teşkil eden meşhur bir olay da var. 18 Ağustos 1913 tarihinde Monte Carlo kumarhanesinde rulet masasında top tam 26 kere ardarda siyaha düştü. Topun 10. kere siyaha düşüşün ardından “artık kırmızıya düşer” diyerek kırmızıya para yatıranlar ise kaybettiler.


Not1: Yukarıdaki grafikleri çizilmiş olan simulasyonların kaynak koduna ulaşmak için: https://rpubs.com/ndemir/64943
Not2: Kaynak kodları bilgisayarınızda çalıştırdığınızda aynı grafikleri üretemiyor olabilirsiniz çünkü veriler random olarak üretiliyor.


Kaynak: Necati Demir: Büyük Sayılar Yasası ve Kumarbazın Yanılgısı